平铺理论中一个有趣的数字:Heesch Numbers

最后编辑于 2019年02月23日 科技

铺满院子的砖的几何图形,大多是四边形和六边形。三角形也可以,但五边形却未必。这涉及到一个有趣的几何数字:Heesch Numbers。

Heesch Numbers中的Heesch,来自德国数学家Heinrich Heesch。

铺满院子的砖,有一个特点,就是选定任何一块砖作为中心砖,可以被完全相同的、不重叠的砖挨着包围住,中心砖的任何一条线、一个角、一个点都不与外界接触。如果把中心砖当做一种平面图形,则包围它的砖就是该平面图形的副本。

假设可以被自己的副本完全包围的平面图形叫做S,那么S满足如下条件:

1、S和副本会形成一个没有内洞的连通区域(blob),数学上也叫做topological disk。
2、S的每个副本至少在一个点上挨着S,大部分是角挨角、线挨线。
3、S的每个点都完全在连通区域内部,即S的任何一条线、一个角、一个点都不与外界接触。


Image From:Craig S. Kaplan/isohedral.ca

满足上述条件的S的包围层,被称作Corona,即科罗娜。哈哈,有一种啤酒叫科罗娜。

直接包围S的层叫做第一层,1-corona;包围第一层的叫做第二层,2-corona,以此类推,直到最大的k-corona,k是从0开始的自然数。

最大的k,就叫做这个平面图形S的Heesch Numbers。

圆形的Heesch Numbers是0,因为圆形一次也不能被自己的副本包围。那些可以铺满院子的三角形、四边形和六边形,它们的Heesch Numbers是无穷。

五边形比较特殊。法国数学家Michaël Rao证明,凸五边形(convex)只有15种类型的Heesch Numbers是无穷,即可以铺满院子。正五边形的Heesch Numbers是0。


Image From:Numberphile

一个看似简单的平铺问题,背后还有这么多有趣的数学知识。

滑铁卢大学教授Craig S. Kaplan的文章:
http://isohedral.ca/heesch-numbers-part-1/

15种类型凸五边形:
https://www.jaapsch.net/tilings/#pentagon

油管上有趣的视频
Heesch Numbers and Tiling - Numberphile

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